Question

(14分）己知函數f (x)=e^x，xR
(1)求 f (x)的反函數圖象上點(1,0)處的切線方程。
(2)證明：曲線y=f(x)與曲線y=有唯一公共點；
(3)設，比較與的大小，并說明理由。

Answer 1

(1) ；(2) 詳見解析；(3) .

試題分析：(1)f (x)的反函數. 直線y=kx+1恒過點P（0，1），該題即為過某點與曲線相切的問題，這類題一定要先設出切點的坐標，然后求導便可得方程組，解方程組即可得k的值.
(2)曲線y=f(x)與曲線 的公共點個數即方程 根的個數. 而這個方程可化為
，令，結合的圖象即可知道取不同值時，方程的根的個數.
(3) 比較兩個式子的大小的一般方法是用比較法，即作差，變形，判斷符號.
 
 
結合這個式子的特征可看出，我們可研究函數的函數值的符號，而用導數即可解決.
試題解析：(1)  f (x)的反函數為. ，，所以過點的切線為： .4分
(2) 令，則，當時 ，當時，，所以在R上單調遞增.又，所以有且只有一個零點，即曲線與有唯一一個公共點.8分
(3) 設 
     9分
令，則，
的導函數，所以在上單調遞增，且，因此，在上單調遞增，而，所以在上.   12分
當時，且即，
 
所以當時，            14分