Question

已知函數，數列是公差為d的等差數列，是公比為q（）的等比數列.若
(Ⅰ)求數列，的通項公式；     
(Ⅱ)設數列對任意自然數n均有，求 的值；
(Ⅲ)試比較與的大小.

Answer 1

（1），  （2）        （3）

試題分析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .
即 ， 解得 d =2.
∴ . ∴     2分
∵ , ∴ .
∵ , ∴ .
又， ∴ .  4分
(Ⅱ) 由題設知 ， ∴.
當時, ,
,
兩式相減,得.
∴  (適合).  7分
設T=,
∴

兩式相減 ,得


.
∴ .  10分
(Ⅲ) ,  .
現只須比較與的大小.
當n=1時, ；
當n=2時, ；
當n=3時, ；
當n=4時, .
猜想時，.     12分            
用數學歸納法證明
(1)當n=2時，左邊，右邊，成立.
(2)假設當n=k時, 不等式成立，即.
當n=k+1時,
.
即當n=k+1時，不等式也成立.
由（1）（2），可知時，都成立.
所以 （當且僅當n＝1時，等號成立）
所以.即.    14分
點評：主要是考查了等差數列和等比數列的通項公式和求和運用，以及數學歸納法來猜想證明大小，屬于難度試題。