Question

【題目】設S表示所有大于﹣1的實數構成的集合，確定所有的函數：S→S，滿足以下兩個條件：
對于S內的所有x和y，f（x+f（y）+xf（y））=y+f（x）+yf（x）；在區間﹣1＜x＜0與x＞0的每一個內， 是嚴格遞增的．求滿足上述條件的函數的方程．

Answer 1

【答案】解：令y=x得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），
令x+f（x）+xf（x）=c，則f（c）=c，
帶入（1）得f（2c+c2）=2c+c2 ． ∵2+c＞2+（﹣1）=1，∴2c+c2=c（2+c）與c同號．
若c＞0，則2c+c2＞c，但 ，與 在x＞0時嚴格遞增相矛盾，
若c＜0，同樣導出矛盾，
∴c=0，從而對一切x∈S有x+f（x）+xf（x）=0，
∴
【解析】令y=x可得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），令x+f（x）+xf（x）=c，則f（c）=c，代入（1）可得f（2c+c2）=2c+c2 ． 對c的符號進行討論得出c=0即x+f（x）+xf（x）=0，從而得出f（x）的解析式．