Question

【題目】設函數，

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）令，當時，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析，（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先對函數求導，然后結合導數與單調性的關系對進行分類討論，可求函數的單調性；

（Ⅱ）把代入可得，對求導，結合導數與單調性的關系及函數的零點判定定理可求的最大值，結合不等式的恒成立與最值的相互轉化關系可證．

（Ⅰ），，

，

當時，，函數在上單調遞增，

當時，令可得，

當時，解得，

令可得，，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

（Ⅱ），

當時，，

令，則，

所以在上單調遞減．

取，，則，（1），

所以函數存在唯一的零點，

即，

所以當，，當，，，

故函數在單調遞增，在，單調遞減，

所以當時，函數取得極大值，也是最大值，

由可得，

兩邊同時取對數可得，，

所以，

故，

由基本不等式可得，因為，

所以，

所以，

又因為 即，

所以當時，成立．