Question

設函數，，其中實數．
（1）若，求函數的單調區間；
（2）當函數與的圖象只有一個公共點且存在最小值時，記的最小值為，求的值域；
（3）若與在區間內均為增函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）．

試題分析：（1）這是一個三次函數求單調區間的問題，此類問題比較熟悉，三次函數的導數為二次函數，它的零點容易求出，但要注意對零點大小的比較，才能準確寫出單調區間；（2）函數與的圖象只有一個公共點，知方程只有一個根（含重根），結合有最小值，可求出的取值范圍，而是一個二次函數，易得它提最小值，最后可求出的值域；（3）由（1）的過程和結果易知的單調增區間，應是其子區間，再由的單調增區間，也應是其子區間，從而確定的取值范圍，要注意分類討論思想的應用.
試題解析：（1）∵，又
∴當或時，；當時，
∴的遞增區間為和，遞減區間為．
（2）由題意知
即恰有一根（含重根）∴，即，
又，且存在最小值，所以
又，∴，∴的值域為．
（3）當時，在和內是增函數，在內是增函數，由題意得，解得．
當時，在和內是增函數，在內是增函數，由題意得，解得．
綜上可知，實數的取值范圍為．