Question

【題目】已知函數 的定義域為集合A，y=﹣x2+2x+2a的值域為B．
（1）若a=2，求A∩B
（2）若A∪B=R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意：整理得A={x︳x＞3}，函數y=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1+2a≤1+2a，即B={x︳x≤2a+1}，

當a=2時，B={x|x≤5}，

∴A∩B={x︳3＜x≤5}

（2）解：∵A∪B=R，∴根據題意得：2a+1≥3，

解得：a≥1，

則實數a的取值范圍是[1，+∞）

【解析】求出函數y= 的定義域確定出A，求出y=﹣x2+2x+2a的值域確定出B，（1）把a=2代入確定出B，求出A與B的交集即可；（2）由A與B的并集為R，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用集合的并集運算和集合的交集運算的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握并集的性質：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，則AB，反之也成立；交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立．