Question

【題目】如圖,橢圓：的左、右焦點分別為，橢圓上一點與兩焦點構成的三角形的周長為6,離心率為，

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線交橢圓于兩點,問在軸上是否存在定點,使得為定值？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點,使得為定值.

【解析】

（Ⅰ）根據點與兩焦點構成的三角形的周長為6,離心率為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、，即可得結果；（Ⅱ）設出直線方程，直線方程與橢圓方程聯立，消去可得關于的一元二次方程，表示為，利用韋達定理化簡可得，令可得結果.

（Ⅰ）由題設得,又,解得,∴.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）,當直線的斜率存在時,設此時直線的方程為,

設,,把代入橢圓的方程,消去并整理得,

,則,,

可得.設點,

那么,

若軸上存在定點,使得為定值,則有,解得,

此時,,

當直線的斜率不存在時,此時直線的方程為,把代入橢圓方程解得,

此時,,, ,

綜上,在軸上存在定點,使得為定值.