Question

【題目】已知函數（）．

（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數在區間上的最大值；

（3）若函數有兩個不同的零點，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為（2）當時，；當時，；

當時，．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）由點在曲線，可解得，求導，可得切線的斜率為0，進而得到切線方程（2）求導，對分，，，四種情況分類討論，分別求出在不同情況下在區間上的最大值；（3）將所證的結論轉化為求新函數的單調區間問題得以解決．

試題解析：（1）因為點在曲線上，所以，解得，

因為，所以切線的斜率為0，

所以切線方程為．

（2）因為．

①當時，，，

所以函數在上單調遞增，則；

②當，即時，，，

所以函數在上單調遞增，則；

③當，即時，

函數在上單調遞增，在上單調遞減，

則；

④當，即時，，，

函數在上單調遞減，則．

綜上，當時，；

當時，；

當時，．

（3）不妨設，

因為，

所以，，

可得，，

要證明，即證明，也就是．

因為，

所以即證明，

即，

令，則，于是，

令（），

則，

故函數在上是增函數，

所以，即成立，所以原不等式成立．