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【題目】已知函數.

（1）設是的極值點，求，并求的單調區間；

（2）當時，證明.

【答案】（1），的單調遞減區間為，增區間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導函數，由求得，再確定的正負，從而確定的單調區間；

（2）由得，，構造新函數，，只要證明即可，利用導數求出的最小值即可．只是要注意的唯一解不可直接得出，只能通過的零點來研究的最小值，只要說明即可．

（1），

由是的極值點知，，即，所以.

于是，定義域為，且，

函數在上單調遞增，且，

因此當時，；當時，，

所以的單調遞減區間為，增區間為.

（2）當，時，，從而，則

，

令，，則

在單調遞增，

且，，

故存在唯一的實數，使得.

當時，，遞減；當時，，遞增．

從而當時，取最小值.

由得，則，，

故，

由知，，故，

即當時，成立.

練習冊系列答案
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【題目】焦點在x軸上的橢圓C：經過點，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點M為的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數，使得；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

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【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在直線，使得對任意的，，對任意的，，求的取值范圍.

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【題目】如圖所示，多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中，，，．

(1)求的長；

(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．

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【題目】已知圓，圓，如圖，分別交軸正半軸于點.射線分別交于點，動點滿足直線與軸垂直，直線與軸垂直.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點作直線交曲線與點，射線與點，且交曲線于點.問：的值是否是定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，并且在兩種坐標系中取相同的長度單位.若將曲線（為參數）上每一點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），然后將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線C.直線l的極坐標方程為.

（1）求曲線C的普通方程；

（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸交于點P，線段AB的中點為M，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某農場更新技術培育了一批新型的“盆栽果樹”，這種“盆栽果樹”將一改陸地栽植果樹只在秋季結果的特性，能夠一年四季都有花、四季都結果.現為了了解果樹的結果情況，從該批果樹中隨機抽取了容量為120的樣本，測量這些果樹的高度（單位：厘米），經統計將所有數據分組后得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求；

（2）已知所抽取的樣本來自兩個實驗基地，規定高度不低于40厘米的果樹為“優品盆栽”，

（i）請將圖中列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為“優品盆栽”與兩個實驗基地有關？

優品

非優品

合計

基地

60

基地

20

合計

（ii）用樣本數據來估計這批果樹的生長情況，若從該農場培育的這批“盆栽果樹”中隨機抽取4棵，求其中“優品盆栽”的棵樹的分布列和數學期望.

附：

.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T．

（I）求橢圓C的方程和點T的坐標；

（Ⅱ）O為坐標原點，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點A，B，直線l′與直線l交于點P，試判斷是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．

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【題目】已知函數f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；

（2）設a>0時，討論函數g（x）=的單調性．

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