Question

【題目】如圖，F1（﹣2，0），F2（2，0）是橢圓C：的兩個焦點，M是橢圓C上的一點，當MF1⊥F1F2時，有|MF2|＝3|MF1|．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點P（0，3）作直線l與軌跡C交于不同兩點A，B，使△OAB的面積為（其中O為坐標原點），問同樣的直線l共有幾條？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線l有四條，詳見解析

【解析】

（1）根據題意得到和，聯立解得答案。

（2）設直線l的方程為，利用韋達定理得到，

，利用面積等于得到，計算得到答案。

（1）由題可知，c＝2即a2﹣b2＝2﹣﹣﹣﹣①

又∵|MF2|＝3|MF1|且|MF1|+|MF2|＝2a，∴．

又∵MF1⊥F1F2，∴，即a2＝2b2﹣﹣﹣﹣②

由①②可知，∴橢圓C的標準方程為．

（2）由題可設直線l的方程為：y＝kx+3（k≠0），

令y＝0，則x，即直線l與x軸的交點D坐標為（），

設點A（x1，y1），點B（x2，y2）．

聯立，消去x，整理可得，（2k2+1）y2﹣6y+9﹣8k2＝0，

則有

又∵S△AOB＝S△ODA+S△ODB

，

∵，即，整理可得，k4﹣5k2+4＝0，解出k＝±1或k＝±2．

∴直線l有四條．