Question

【題目】已知函數（，）， （）.

（1）如果是關于的不等式的解，求實數的取值范圍；

（2）判斷在和的單調性，并說明理由；

（3）證明：函數存在零點q，使得成立的充要條件是．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）代入解得；（2）用定義證得在遞減，在上遞增；（3）充分性：當時，有，得，成立；必要性：由成立，可得，得，，有，成立。

試題解析：

(1) 由，得

（2）設 ，

當 時， ， ，，， ，

有，， .

當 時， ， ，，， ，有，， .

當時， ， ，，， .

在遞減，在和上遞增，從而在上遞增.

(3) 充分性：當時，有，又，函數在內的圖像連續不斷，故在內一定存在零點且 ，有，得，從而.

必要性：當時，.

當時，由成立，可得從而得，，由（2）中的結論可知在遞減，在遞增，從而，或 .

從而，時，有.