Question

【題目】如圖，在三棱柱中， 平面， ， ， 是的中點， 是等腰三角形， 是的中點， 是上一點.

（Ⅰ）若，證明： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）以為原點，以所在的直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面；
（Ⅱ）（Ⅰ）知平面的一個法向量為， ，由此利用向量法能求出直線與平面所成角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為平面，又，

所以以為原點，以所在的直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

設，又是等腰三角形，

所以， ， ， ，

所以， .

設平面的法向量為，

則，即，可得，

令，則，所以是平面的一個法向量.

又， 是的中點，所以， ，所以，

由于，所以，

又平面，所以平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一個法向量為， ， ， ，設直線與平面所成角的大小為，則，

又，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.