Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且2PF=FA．

（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求證：CM∥平面BEF；
（3）求平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．

∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，

又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，

∴AC⊥BE．

又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC．

（2）證明：取AF得中點Q，連接CQ，MQ．

∵2PF=FA，∴點F為PQ的中點，

由三角形的中位線定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，

又CQ∩MQ=Q，∴平面BEF∥平面CMQ，

∴CM∥平面BEF．

（3）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），F ．

， ．

設平面BEF的法向量為 =（x，y，z），則 ，令x=1，則z=﹣1，y=1．

∴ =（1，1，﹣1）．取平面ABC的法向量 ．

則 = = =﹣ ．

∴平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值為 ．

【解析】（1）利用等腰三角形的性質可得BE⊥PC．再利用線面垂直的判定和性質即可證明BE⊥平面PAC；（2）取AF得中點Q，連接CQ，MQ．利用已知及三角形的中位線定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，即可得到面面平行：平面BEF∥平面CMQ，進而得到線面平行；（3）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．