Question

變量x、y滿足

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，
（1）求z=2x+y的最大值；
（2）設z=

y

x

，求z的最小值；
（3）設z=x²+y²，求z的取值范圍；
（4 ）設z=x²+y²+6x-4y+13，求z的取值范圍．

Answer 1

分析：畫出約束條件表示的可行域，通過角點法求出（1）的最大值；
目標函數的幾何意義求解（2）；
目標函數的意義到原點的距離的平方求解（3）；
利用表達式的幾何意義是可行域上的點到點（-3，2）的距離的平方．求解（4）．

解答：解：由約束條件

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，
作出（x，y）的可行域如圖所示．
由

x=1 3x+5y-25=0

，解得A（1，

22

5

）．
由

x=1 x-4y+3=0

，解得C（1，1）．
由

3x+5y-25=0 x-4y+3=0

，解得B（5，2）．   …．（4分）
（1）z_max=12…．（7分）
（2）∵z=

y

x

∴z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率．
觀察圖形可知z_min=k_OB=

2

5

．…．（10分）
（3）z=x²+y²的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，
d_min=OC=，d_max=OB=．∴2≤z≤29…..（13分）
（4）z=x²+y²+6x-4y+13=（x+3）²+（y-2）²的幾何意義是可行域上的點到點（-3，2）的距離的平方．結合圖形可知，可行域上的點到（-3，2）的距離中，d_min=1-（-3）=4，d_max═8．
∴16≤z≤64…（16分）

點評：本題考查簡單線性規劃的應用，注意目標函數的幾何意義是解題的關鍵，�？碱}型．