Question

已知是二次函數，不等式的解集是，且在點處的切線與直線平行．
(1)求的解析式；
(2)是否存在t∈N^*，使得方程在區間內有兩個不等的實數根？
若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）.
（2）存在唯一的自然數，使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根. 

解析試題分析：（1）根據是二次函數，及不等式的解集是，
可設，. 再根據函數在切點的斜率就是該點處的導函數值，可建立
方程，解得.
（2）首先由（1）知，方程等價于方程.
構造函數，通過“求導數、求駐點、討論導數值的正負”明確函數的單調區間，通過計算，
認識方程有實根的情況.
試題解析：（1）∵是二次函數，不等式的解集是，
∴可設，.
∴.                                           2分
∵函數在點處的切線與直線平行，
∴.
∴，解得.
∴.                           5分
（2）由（1）知，方程等價于方程  6分
設，
則.                         7分
當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增.   9分
∵，
∴方程在區間，內分別有唯一實數根，在區間
內沒有實數根.                  12分
∴存在唯一的自然數，使得方程
在區間內有且只有兩個不等的根.      13分
考點：二次函數，導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性.