Question

【題目】已知△ABC的直角頂點A在y軸上，點B（1，0），D為斜邊BC的中點，且AD平行于x軸．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡為曲線Γ，直線BC與Γ的另一個交點為E，以CE為直徑的圓交y軸于點M，N，記圓心為P，∠MPN=α，求α的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設C（x，y），則D（ ， ），A（0， ），

∴kAB=﹣ ，kAC= ，

∵AB⊥AC，

∴﹣ =﹣1，即y2=4x，

∴點C的軌跡方程是y2=4x

（2）解：①當直線BC無斜率時，直線BC的方程為x=1，此時C（1，2），E（1，﹣2），

P與B重合，M（0， ），N（0，﹣ ），∴∠MPN=120°；

②當直線BC有斜率時，設直線BC的方程為y=k（x﹣1），

代入y2=4x得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

設C（x1，y1），E（x2，y2），則x1+x2= =2+ ，

∴|CE|=x1+x2+2=4+ ，∴圓P的半徑r= |CE|=2+ ，

P到y軸的距離d= =1+ ，

∴cos = = =1﹣ ，

∵k2＞0，∴ ＜cos ＜1，

又0°＜ ＜90°，∴0°＜ ＜60°，

∴0°＜α＜120°．

綜上，α的最大值為120°

【解析】（1）設C（x，y），用x，y表示出A點坐標，根據AB⊥AC列方程化簡即可；（2）討論BC的斜率，求出圓P的半徑和橫坐標，計算cos ，得出α的范圍．