Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E為PB中點.利用空間向量方法完成以下問題：

（1）求二面角E-AC-D的余弦值；

（2）在棱PD上是否存在點M，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在棱上存在點,使，且

【解析】

（1）取的中點，建立空間坐標系，分別求出平面和的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；

（2）假設存在點，設出點的坐標，由三點共線得，，

可用表示出點，再利用，求出，滿足即可，即得的值．

（1）取的中點，連結，.因為底面為矩形,所以.因為，,所以∥，所以.

又因為平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.

所以PO⊥平面ABCD，

如圖，建立空間直角坐標系,則，

設平面的法向量為，

所以令，則，所以.

平面的法向量為，則.

如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

（2）在棱上存在點,使.設,則.

因為,所以.

.因為,所以.

所以，解得.

所以在棱上存在點,使，且.