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【題目】已知數列的通項公式為，其中且.

（1）若是正項數列，求的取值范圍；

（2）若，數列滿足，且對任意，均有，寫出所有滿足條件的的值；

（3）若，數列滿足，其前n項和為，且使的i和j至少4組，、、……、中至少有5個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求，滿足的充要條件并加以證明.

【答案】（1） （2） （3）證明見解析.

【解析】

（1）通過函數是與x軸交于兩點且開口向上的拋物線可知，只需知均在1的左邊即可；

（2）通過化簡可知，排除可知，此時可知對于而言，當時單調遞減，當時單調遞增，進而解不等式組即得結論；

（3）通過及可知 ，結合可知，從而可知的最小值為5，通過中至少5個連續的值相等可知，且其他值不相等

，進而可得的值為8.

（1）由題意，，，

使數列為正項數列，則，故的取值范圍是

（2）

當時，均單調遞增，不合題意

當時，對于可知，當時單調遞減，當時單調遞增，由題意可知

聯立不等式，解得

（3）

又，或

此時的的四個值為1，2，3，4，故又中至少5個連續的值相等

不妨設，則

因為當時，

，而使其他值不相等，則

故

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E:過點(0,1)且離心率.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設動直線l與兩定直線l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓E有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”．其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：①根據行駛里程數按1元/公里計費；②行駛時間不超過分時，按元/分計費；超過分時，超出部分按元/分計費．已知王先生家離上班地點公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間 (分)是一個隨機變量．現統計了次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：

時間（分）

頻數

將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分．（1）寫出王先生一次租車費用（元）與用車時間（分）的函數關系式；（2）若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”，設表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求的分布列和期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設點分別是棱長為2的正方體的棱的中點．如圖，以為坐標原點，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系．

（1）求向量與的數量積；

（2）若點分別是線段與線段上的點，問是否存在直線，平面？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的通項公式為，其中，、.

(1)試寫出一組、的值，使得數列中的各項均為正數.

(2)若，，數列滿足，且對任意的()，均有，寫出所有滿足條件的的值.

(3)若，數列滿足，其前項和為，且使(、，)的和有且僅有組，、、…、中有至少個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求、的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于雙曲線，若點P（x0，y0）滿足，則稱P在的外部，若點P（x0，y0）滿足>1，則稱在的內部；

（1）若直線y=kx+1上的點都在C（1，1）的外部，求k的取值范圍；

（2）若C（a，b）過點（2，1），圓x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）內部及C（a，b）上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求b、r滿足的關系式及r的取值范圍；

（3）若曲線|xy|=mx2+1（m＞0）上的點都在C（a，b）的外部，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】關于函數，給出以下四個命題：（1）當時，單調遞減且沒有最值；（2）方程一定有實數解；（3）如果方程（為常數）有解，則解得個數一定是偶數；（4）是偶函數且有最小值.其中假命題的序號是____________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F2，離心率為，A為橢圓C上一點，且AF2⊥F1F2，且|AF2|.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左右頂點為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線 l1，l2，橢圓C的一條切線l:y=kx+m(k≠0)與l1，l2交于M，N兩點，試探究是否為定值，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，若在區間內有且只有一個實數，使得成立，則稱函數在區間內具有唯一零點.

（1）判斷函數在區間內是否具有唯一零點，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區間內具有唯一零點.

（3）若函數在區間內具有唯一零點，求實數的取值范圍.

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