Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形為等腰梯形， ， ， ，四邊形為正方形，平面平面.

（1）若點是棱的中點，求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：

（1）要證線面平行，一般先證線線平行，由是中點及其他已知可證與平行且相等，從而得平行四邊形，也就有線線平行，從而得線面平行；

（2）由已知證得兩兩垂直，以它們為坐標軸建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，求出平行的法向量，由直線的方向向量與平面法向量夾角余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦值可得結論．

試題解析：

（1）證明：由已知得// ，且.

因為為等腰梯形，所以有// .

因為是棱的中點，所以．

所以// ，且，

故四邊形為平行四邊形,

所以// .

因為平面， 平面，

所以//平面．

解：（2）因為四邊形為正方形，所以.

因為平面平面，

平面平面， 平面，

所以平面.

在△中，因為， ，

所以由余弦定理，得，

所以．

在等腰梯形中，可得.

如圖，以為原點，以所在直線分別為

軸， 建立空間坐標系，

則， ， ， ， ，

所以， ， .

設平面的法向量為，由

所以，取，則，得．

設直線與平面所成的角為，

則

所以與平面所成的角的正弦值為.