Question

【題目】已知定義在實數集上的偶函數和奇函數滿足.

（1）求與的解析式；

（2）若定義在實數集上的以2為最小正周期的周期函數，當時，，試求在閉區間上的表達式，并證明在閉區間上單調遞減；

（3）設（其中為常數），若對于恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）;證明見解析（3）

【解析】

（1）根據奇函數與偶函數定義,可分別代入得關于與的方程組,解方程組即可求得與的解析式;

（2）由為以2為最小正周期的周期函數,所以當時,即可根據求得求在閉區間上的表達式.根據函數單調性的定義,任取,即可通過作差法證明函數的單調性.

（3）利用換元法,令,由可求得的取值范圍.則.由可知當時滿足,因而可知恒成立.分離參數可知,結合基本不等式即可求得的取值范圍.

（1）由①,

因為是偶函數,是奇函數

所以有,即②

∵,定義在實數集上

由①和②解得,

（2）是上以2為正周期的周期函數

所以當時,

即在閉區間上的表達式為

下面證明在閉區間上遞減:

,當且僅當

即時等號成立.對于任意

因為,所以,,,,

從而,所以當時,遞減

（3）∵在單調遞增

∴

∴對于恒成立

∴對于恒成立

令,則

當且僅當時,等號成立,且

所以在區間上單調遞減

∴

∴為的取值范圍