Question

【題目】設函數.

（1）若當時，函數的圖象恒在直線上方，求實數的取值范圍；

（2）求證： .

Answer 1

【答案】（1）實數的取值范圍是；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）將問題轉化為不等式在上恒成立，求實數的取值范圍的問題�？蓸嬙旌瘮�，經分類討論得到恒成立時的取值范圍即可。（2）先證明對于任意的正整數，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，結合（1）③的結論，當， 時在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。

試題解析：

（1）令，

則，

令，

則

①當時，有 ，于是在上單調遞增，從而，

因此在上單調遞增，

所以，符合題意。

②當時，有 ，于是在上單調遞減，從而，

因此在上單調遞減，

所以，不合題意；

③當時，令，

則當時， ，于是在上單調遞減，

從而，

因此在上單調遞減，

所以，而且僅有，不合題意.

綜上所求實數的取值范圍是.

（2）對要證明的不等式等價變形如下：

對于任意的正整數，不等式恒成立，

即恒成立，

變形為恒成立，

在（1）③中，令， ，

則得在上單調遞減，

所以，

即,

令，則得成立.

當時，可得.

即，

所以成立。