Question

【題目】已知是拋物線上一點，經過點的直線與拋物線交于、兩點（不同于點），直線、分別交直線于點、.

（1）求拋物線方程及其焦點坐標；

（2）求證：以為直徑的圓恰好經過原點.

Answer 1

【答案】（1）拋物線方程為，焦點坐標為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，并求出拋物線的焦點坐標；

（2）設，，、，設直線的方程為，其中，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用向量共線求出點、的坐標，然后將韋達定理代入，利用向量數量積的坐標運算計算出，即可證明出結論成立.

（1）將代入，得，因此，拋物線方程為，焦點坐標為；

（2）設，，、.

因為直線不經過點，所以直線一定有斜率，設直線方程為，

與拋物線方程聯立得到，消去，得，

則由韋達定理得，.

，，

，，即，

顯然，，，，

則點，同理可求得點的坐標為，

所以，，

，因此，以為直徑的圓過原點.