Question

【題目】已知函數f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函數y=f（x）在[0，π]存在單調增區間，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（ ）=0，證明：對于x∈[﹣1， ]，總有f（﹣x﹣1）+2f′（x）cos（﹣x﹣1）＞0．

Answer 1

【答案】解：（I）由題f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+cosx）﹣e1﹣xsinx=﹣e1﹣x（sinx+cosx﹣a），
因為x∈（0，π），函數y=f（x）在[0，π]存在單調增區間，
所以f'（x）=﹣e1﹣x（sinx+cosx﹣a）≥0，
即a≥ sin（x+ ）在x∈（0，π）恒成立，
而y=sin（x+ ）在x∈（0，π）的最大值是1，
故a≥ ；
（II）若f（ ）=0，則a=0，
f（﹣x﹣1）=ex+2cos（﹣x﹣1）=ex+2cos（x+1），
而2f'（x）cos（﹣x﹣1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）cos（x+1），
又因為x∈[﹣1， ]，所以cos（x+1）＞0，
要證原不等式成立，只要證ex+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，
只要證ex+2＞2e1﹣x（sinx+cosx），
只要證e2x+1＞2 sin（x+ ），在x∈[﹣1， ]上恒成立，
首先構造函數g（x）=2x+2﹣2 sin（x+ ），x∈[﹣1， ]，
因為g′（x）=2﹣2 cos（x+ ）=2 （ ﹣cos（x+ ）），
可得，在x∈[﹣1，0]時，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是減函數，
在x∈（0， ]時，g'（x）＞0，即g（x）在（0， ]上是增函數，
所以，在[﹣1， ]上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0，
所以，2 sin（x+ ）≤2x+2，等號成立當且僅當x=0時，
其次構造函數h（x）=e2x+1﹣（2x+2），x∈[﹣1， ]，
因為h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），
可見x∈[﹣1，﹣ ]時，h'（x）≤0，即h（x）在[﹣1，﹣ ]上是減函數，
x∈（﹣ ， ]時，h'（x）＞0，即h（x）在（﹣ ， ]上是增函數，
所以在[﹣1， ]上，h（x）min=h（﹣ ）=0，所以h（x）≥0，
所以，e2x+1≥2x+2，等號成立當且僅當x=﹣時．
綜上所述，e2x+1≥2x+2≥2 sin（x+ ），
因為取等條件并不一致，
所以e2x+1＞2 sin（x+ ），在x∈[﹣1， ]上恒成立，
所以x∈[﹣1， ]，總有f（﹣x﹣1）+2f'（x）cos（﹣x﹣1）＞0成立
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，根據x的范圍，判斷出f′（x）的符號，從而求出函數的單調性，確定a的范圍即可；（Ⅱ）問題轉化為證明e2x+1＞2 sin（x+ ），在x∈[﹣1， ]上恒成立，構造函數g（x）=2x+2﹣2 sin（x+ ），x∈[﹣1， ]，求出g（x）的導數，判斷出函數的單調性，從而證出結論．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．