Question

【題目】已知二次函數 在時取得最小值，且函數的圖象在軸上截得的線段長為．

（1）求函數的解析式；（2）當時，函數的最小值為，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由已知中二次函數在x=2時取得最小值，所以，且函數f（x）的圖象在x軸上截得的線段長為2，即，結合韋達定理即可求出a，b值，可得函數f（x）的解析式；

（2）由（1）知， 的對稱軸是x=2，分析給定區間與對稱的位置關系，結合當x∈[t，t+1]時，討論求出最小值即可求參數的值.

試題解析：

解：因為二次函數在時取得最小值，

所以，即，所以，

設函數的圖象在軸上的兩個交點分別為，

所以. 因為函數的圖象在軸上截得的線段長為．

則.所以.

所以

(2) 由(1)知， 的對稱軸是，

①當時，即時，函數在區間上是單調減函數，

所以，即

所以.

②當時，即時， .（舍去）

③當時，函數在區間上是單調增函數，

，即，所以.

綜合上所述， 或.