Question

【題目】已知a，b，c是互不相等的實數，求證：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．

Answer 1

【答案】【解答】
證明：假設題設中的函數確定的三條拋物線都不與x有兩個不同的交點
（即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點），
由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2﹣4ac≤0，
△2=（2c）2﹣4ab≤0，
△3=（2a）2﹣4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，
∴a=b=c，這與題設a，b，c互不相等矛盾，
因此假設不成立，從而命題得證．
【解析】本題主要考查了反證法的應用，解決問題的關鍵是本題是一個至少性問題，可以利用反證法證明，其步驟為：①否定命題的結論，即假設“任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點”成立→②根據函數的性質可以得到三個函數對應方程的△≤0均成立→③利用不等式的性質，同向不等式求和→④得到的式子與實數的性質相矛盾→⑤故假設不成立，原結論成立．