Question

【題目】已知函數.

(1)求f(x)的最小值；

(2)若關于x的不等式在(1,+∞)上恒成立,求整數k的最大值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）3.

【解析】

（1）判斷當x>1時，當0<x<1時，導函數的符號，判斷函數的最小值位置，然后求解即可;（2）不等式恒成立轉化為，即恒成立，即h（x）的最小值大于k，求出函數的導數，通過記，判斷函數的最值，當x>a時，判斷h'（x）符號，求解函數的最小值，可得正整數k的最大值.

（1）由，

當x>1時,f'(x)>0;當0<x<1時,f'(x)<0.

故當x=1時,f(x)取得最小值,最小值為f(1)=1.

（2）由,即,

即在(1,+∞)上恒成立,

則在(1,+∞)上的最小值大于k.

,記,

則當x（1，+∞）時g′(x)=，

所以，g（x）在（1，+∞）上單調遞增，
又，

存在唯一存a，

且滿足，,

當時，，

當時，，

，

，

故正整數k的最大值是3.