Question

【題目】已知橢圓：1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓的右頂點與下頂點為直徑端點的圓的面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，動直線與橢圓交于軸同一側的兩點，且滿足，試問直線是否過定點，若過定點，求出此定點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）不存在，見解析

【解析】

(1)由題意可求得圓的半徑為，由面積公式,可解得,由,可得,由即可求出橢圓方程;

(2) 所以設的方程：,聯立直線方程和橢圓方程,得到根與系數的關系,利用得,即可求出所得,驗證是否符合條件即可.

（1）由題意得：橢圓的右頂點為，下頂點，所以橢圓的右頂點與下頂點為直徑端點的圓的半徑為，所以，即：；，即，而所以

所以橢圓C的標準方程為：1；

（2）由題意得直線的斜率存在且不為零，

所以設的方程：，

代入橢圓方程整理得： ,，

因為得，

而， ，

所以即：，

所以，

所以，所以直線，與橢圓聯立，時，，與橢圓相切，過上頂點與時，斜率為，所以在軸同一側時斜率在，而這時不滿足，所以不存在符合題意條件的定點．