Question

【題目】已知定義在區間上兩個函數和，，，.

（1）求函數的最大值；

（2）若在區間單調，求實數的取值范圍；

（3）當時，若對于任意，總存在，使恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）根據二次函數的圖象和性質，先將函數f(x)的解析式進行配方，然后討論對稱軸與區間[1，2]的位置關系，可求出函數y= f(x)的最大值m(a)；（2）對函數求導，分在區間單調遞增或單調遞減兩種情況進行討論，轉化成或恒成立問題求解即可；（3）根據題意求出g(x)的最大值，然后使，注意對a進行分類討論，然后建立關系式，分別解之即可求出a的范圍．

（1），

則當時，，

當時，，

所以；

（2），依題意，

①在上恒成立，即在上恒成立，則；

②在上恒成立，即在上恒成立，則.

綜上，實數的取值范圍為或.

（3）依題意可得，，當時，由（2）知在上單調遞減，則，由（1）得：

①當時，，解得，所以；

②當時，，解得，所以.

綜上所述，.