Question

在等比數列{a_n}中，公比q≠1，前n項和為S_n，若S₂，S₄，S₃成等差數列，則a₂,a₄,a₃成等差數列.

(1)寫出這個命題的逆命題；

(2)判斷逆命題是否為真，并給出證明.

Answer 1

解：(1)在等比數列{a_n}中，公比q≠1，前n項和為S_n，若a₂,a₄,a₃成等差數列，則S₂，S₄，S₃成等差數列.

(2)是真命題.

證明：∵a₂,a₄,a₃成等差數列，

∴2a₄=a₂+a₃.又{a_n}為等比數列，

∴2a₁q³=a₁q+a₁q²,2q²-q-1=0.

∴q=-或q=1(舍).

此時S₂=,S₃=,S₄=a₁.

∴2S₄=S₂+S₃，即S₂，S₄，S₃成等差數列.