Question

【題目】【2017屆河北省衡水中學高三上學期六調】已知函數，其中均為實數，為自然對數的底數.

（1）求函數的極值；

（2）設，若對任意的恒成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題對 得，研究其單調性，可得當時，取得極大值，無極小值；

（2）由題當時，，由單調性可得在區間上為增函數，根據，構造函數，

由單調性可得在區間上為增函數，不妨設，

則等價于，

即，

故又構造函數，

可知在區間上為減函數，∴在區間上恒成立，

即在區間上恒成立，

∴，設

則，

∵，

∴，則在區間上為減函數，

∴在區間上的最大值，∴，

試題解析：（1）由題得，，

令，得．，

列表如下：

		1
	大于0	0	小于0
		極大值

∴當時，取得極大值，無極小值；

（2）當時，，

∵在區間上恒成立，

∴在區間上為增函數，

設，

∵在區間上恒成立，

∴在區間上為增函數，不妨設，

則等價于，

即，

設，

則在區間上為減函數，

∴在區間上恒成立，

∴在區間上恒成立，

∴，

設，

∵，

∴，則在區間上為減函數，

∴在區間上的最大值，∴，

∴實數的最小值為．