Question

【題目】函數，關于的不等式的解集為.

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）設.

（i）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

（ii）若函數有三個不同的零點，求實數的取值范圍（為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（i）（ii）

【解析】

（Ⅰ）根據三個“二次”的關系可知，的兩根為-1和3，再根據韋達定理即可求出；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）中求出的解析式可將不等式化簡成，，換元，，即只需求在上的最小值，即可求出實數的取值范圍；

（ii）換元，令，則函數有三個不同的零點，等價于在有兩個零點，再根據函數與方程思想，以及二次函數的有關性質即可求出．

（Ⅰ）因為的解集為，

即方程的兩根為-1和3，

由韋達定理可知，解得.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可得：，

所以不等式在上恒成立，

等價于在上恒成立，

令，因為，所以，

則有在恒成立，

令，，則，

所以，即，所以實數的取值范圍為.

（ii）因為，

令，由題意可知，

令，，

則函數有三個不同的零點，

等價于在有兩個零點，

當時，方程，此時，解得或，關于的方程有三個零點，符合題意；

當時，記兩個零點為，，且，，，

所以，

綜上實數的取值范圍是.