Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，點P是橢圓C上一點，以PF1為直徑的圓E：x2過點F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P且斜率大于0的直線l1與C的另一個交點為A，與直線x＝4的交點為B，過點（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x＝4交于點D，求△ABD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）22．

【解析】

（1）根據題意求得橢圓的焦點坐標，利用橢圓的定義求得a和b的值，即可求得橢圓方程；

（2）設直線l1的方程，代入涂鴉方程，利用韋達定理求得A的橫坐標，求得直線l2方程，求得D點坐標，利用三角形的面積公式及基本不等式即可求得△ABD面積的最小值．

（1）在圓E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，

所以F1（﹣2，0），F2（2，0），

又因為，所以P點坐標為，

所以，則，b＝2，

因此橢圓的方程為；

（2）設直線l1：yk（x﹣2）（k＞0），

所以點B的坐標為，

設A（xA，yA），D（xD，yD），將直線l1代入橢圓方程得：（1+2k2）x2+（4k﹣8k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0，

所以xPxA，所以xA，

直線l2的方程為y（x﹣3），所以點D坐標為，

所以S△ABD（4﹣xA）|yB﹣yD|

＝2k222，

當且僅當2k，即k時取等號，

綜上，△ABD面積的最小值22．