Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左頂點為，過點的直線與橢圓交于軸上方一點，以為邊作矩形，其中直線過原點．當點為橢圓的上頂點時，的面積為，且．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求矩形面積的最大值；

（3）矩形能否為正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）為正方形，理由見解析.

【解析】

（1）根據題意得出關于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，其中，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出點的坐標，利用兩點間的距離公式求出，并求出，可得出四邊形的面積關于的表達式，然后利用基本不等式可求得的最大值；

（3）由四邊形為正方形得出，可得出，構造函數，利用零點存在定理來說明函數在時有零點，進而說明四邊形能成為正方形.

（1）由題意：，解得，，

所以橢圓的標準方程為；

（2）顯然直線的斜率存在，設為且，則直線的方程為，即，

聯立得，

解得，，所以，

直線的方程為，即，所以，

所以矩形面積，

所以當且僅當時，矩形面積取最大值為；

（3）若矩形為正方形，則，即，則，

令，

因為，，又的圖象不間斷，

所以有零點，所以存在矩形為正方形.