Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ +alnx．
（Ⅰ）若f（x）在區間[2，3]上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設f（x）的導函數f′（x）的圖象為曲線C，曲線C上的不同兩點A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直線的斜率為k，求證：當a≤4時，|k|＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ．
因為f（x）在區間[2，3]上單調遞增，
所以 ≥0在[2，3]上恒成立，
即 在[2，3]上恒成立，
設 ，則 ，
所以g（x）在[2，3]上單調遞減，
故g（x）max=g（2）=﹣7，
所以a≥﹣7；
（Ⅱ）對于任意兩個不相等的正數x1、x2有
＞
=

= ，
∴ ，
而 ，
∴ =
= ＞ ，
故： ＞ ，即 ＞1，
∴當a≤4時，
【解析】（Ⅰ）由函數單調性，知其導函數≥0在[2，3]上恒成立，將問題轉化為 在[2，3]上單調遞減即可求得結果；（Ⅱ）根據題意，將 寫成 ，利用不等式的性質證明 ，所以 ＞ ，即得 ．