Question

【題目】已如橢圓C：的兩個焦點與其中一個頂點構成一個斜邊長為4的等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設動直線l交橢圓C于P，Q兩點，直線OP，OQ的斜率分別為k，k＇.若，求證△OPQ的面積為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）△OPQ的面積為定值，且此定值為，見解析

【解析】

（1）根據等腰直角三角形可知，，根據求解橢圓方程；（2）當與軸垂直時，設，代入和橢圓方程，得到面積，當與軸不垂直時，設直線l的方程為，聯立方程，得到根與系數的關系，并表示面積，得到面積是定值.

（1）設橢圓C的左、右焦點分別為F1，F2.依題查，有得，則，

所以橢圓C的標準方程為.

（2）證明：①當直線1與x軸垂直時，設直線l的方程為，，.

由，且，解得，或，，所以.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為，，.

聯立直線l和橢圓C的方程，得整理得.

，，.

由，則，即，

所以，

即，整理得，則.

又，

點O到直線PQ的距離為，所以.

綜上，△OPQ的面積為定值，且此定值為.