Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ………………2分

xf′（x）=xlnx+1，

題設xf′（x）≤x2+ax+1等價于lnx-x≤a，

令g（x）=lnx-x，則g’（x）=。 ………………4分

當0<x<1時，g’（x）>0；當x≥1時，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點，

g（x）≤g（1）=-1。 ………………6分

綜上，a的取值范圍是[-1,+∞）。 ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；

當0<x<1時，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；………10分

當x≥1時，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）

=lnx+x（lnx+-1）≥0

所以（x-1）f（x）≥0

【解析】

本試題主要考查了導數在研究函數中的運用，以及利用導數求解不等式，或者參數范圍的運用。

解：（Ⅰ），

,

題設等價于.

令，則

當，；當時，，是的最大值點，

綜上，的取值范圍是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.

當時，；

當時，

所以