Question

【題目】已知函數f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1．

（1）當a＝1時，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）當f（x）≤1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[2,+∞）；（2）0≤a≤4．

【解析】

（1）將函數寫成分段函數的形式，畫出函數圖像，數形結合求得不等式解集；

（2）將恒成立問題轉化為求解絕對值不等式的最值問題，再利用絕對值三角不等式求得最值即可.

（1）a＝1時，

函數f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣1；

畫函數f（x）的圖象，如圖所示；

由圖象知，不等式f（x）≥0的解集為[2,+∞）；

（2）令f（x）≤1，得f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1≤1，

即|x﹣a|﹣|x﹣2|≤2（*）；

設g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，

則g（x）≤|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|﹣a+2|＝|a﹣2|，

當且僅當時，或時，取得最大值.

不等式（*）可化為|a﹣2|≤2，

即﹣2≤a﹣2≤2，

解得0≤a≤4；

所以實數a的取值范圍是0≤a≤4．