Question

【題目】已知是圓錐的高，是圓錐底面的直徑，是底面圓周上一點，是的中點，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

（1）求證：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連結，易證，，從而可證明平面，進而可證明平面平面；

（2）先證明，，兩兩垂直，進而建立如圖所示的空間直角坐標系，利用法向量的方法求得二面角的余弦值即可.

（1）連結，則，

又因為是的中點，所以.

因為是圓錐的高，所以平面，

平面，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）由已知可得，

所以為正三角形，.

又因為，所以，所以.

于是分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，.

則，，.

設平面的法向量為，

由得：.

令，得，，

即.

設平面的法向量為，

由得：，

令，得，，即.

設二面角的大小為，由圖可知，，則.

故所求二面角的余弦值為.