Question

【題目】某娛樂節目參賽選手分初賽培訓、復賽三個階段選拔，將50位參選手的初賽成績（總分150分）分成[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）5組進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據頻率分析直方圖，估算這50個選手初賽成績的平均分，若節日組規定成績大于或等于120分的選手可獲得節目組組織的培訓資格，120分以下（不包括120）的則被淘汰，求這50個人中獲得培訓資格的人數；

（2）節目組從獲得培訓資格的人員中選拔部分人員進入復賽.為增加節目的娛樂性，節目組提供了以下兩種進入復賽的方式（每位選手只能選擇其中一種）

第一種方式：利用分層抽樣的方法抽取6名選手參加復賽；

第二種方式：每人最多有5次答題機會，累計答對3題或答錯3題終止答題，答對3題可參加復賽

①已知甲的初賽成績在[120，130）內，他答對每一個問題的概率為，并且互相之間沒有影響甲要想參加復賽，選擇那種方式更有利？

②若甲選擇第二種方式，求他在答題過程中答題個數X的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）115；15（2）①選擇第二種方式更有利②詳見解析

【解析】

（1）每組的中點作為代表值加權平均即可得到平均數，根據頻率分布直方圖估計出初賽成績大于或等于120分的概率，即可得到這50個人中獲得培訓資格的人數；

（2）①分別計算甲采用兩種方式答題能進入復賽的概率，概率大的更有利；

②列出隨機變量的所有可能的取值，分別計算對應概率，列出分布列求期望即可．

（1）平均成績（95×0.01+105×0.02+115×0.04+125×0.02+135×0.01）×10＝115，

所有獲得培訓資格的人數為（0.02+0.01）×10×50＝15.

（2）①由題圖可知，成績不低于120分的選手的人數分別為10人，5人，

設“甲能參加培訓”為事件A，

若甲采用第一種方式，

則用分層抽樣的方法抽取6名人員，在第4組，第5組中分別抽取4人，2人，

∴P（A），若選手選擇第二組方式，則因為甲答對第一道題的概率為p，

∴所以甲答題3次且答對的概率為p3.

甲答題4次且恰有3次答對的概率為，

甲答題5次且恰有3次答對的概率為，

由此可得P（A），

∵，

∴甲想參加復賽選擇第二種方式更有利.

②甲答對每一題的概率為p，答題個數X的可能取值為3，4，5，

且P（X＝3）＝p3+（1﹣p）3，

P（X＝4），

P（X＝5），

∴X的分布列為：

X	3	4	5
P

∴X的數學期望E（X）＝34.