Question

【題目】設函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，記的最小值為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）見解析.

【解析】

（1）由題意可得的定義域為，求出的導函數，通過判斷導函數的符號即可判斷的單調性;

（2）由（1）可得，要證，即證，即證明，通過構造函數，判斷函數的單調性，通過求得函數的最大值即可推出結果.

（1）根據題意，可得的定義域為，

對求導可得：，

因為，當時，，所以在上單調遞增，

當時，令可得，

當時，，即，此時在單調遞減，

當時，，即，此時在單調遞增，

綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）可得，最小值為，即，

由題意需證明，即，即證明，即證明，

令，對求導有：，

因為，令可得：，

當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，

所以，

即，即.