Question

【題目】有一個游戲：盒子里有個球，甲，乙兩人依次輪流拿球（不放回），每人每次至少拿一個，至多拿三個，誰拿到最后一個球就算誰贏。若甲先拿，則下列說法正確的有：

__________．

①若，則甲有必贏的策略；②若，則乙有必贏的策略；

③ 若，則乙有必贏的策略；④若，則甲有必贏的策略。

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

對每一個選項逐一判斷，前面3個可以舉反例說明其是錯誤的，對最后一個要正面分析推理.

先證明以下事實：

當遇到盒中球數為3、4、5時，先拿者贏。

證明：不妨設甲先拿，因為最后為一個球，所以當球數為3時，甲先拿1個，乙只能拿一個，最后甲拿1個贏。當球數為4時，甲先拿2個，乙只能拿一個，最后甲拿1個贏。當n=5時，甲先拿3個即可贏。

當球數5時，甲先拿3個，乙只能拿一個，最后甲拿1個贏。證完。

由已證命題可知①正確。

當n=6時，無論甲先拿幾個球皆輸。因為若甲先拿1個，則還剩5個，據上述命題這時乙必贏；若甲先拿2個，則還剩4個，據上述命題這時乙必贏；若甲先拿3個，則還剩3個，據上述命題這時乙必贏；所以②正確。

當n=7時，乙不能必贏。反例：當甲先拿1個時，還剩6個，由②知甲贏。所以③錯誤。

當n=9時，甲先拿3個，還剩6個，據②知甲贏。所以④正確。

綜上，應填①②④.