Question

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）若函數的圖象在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）討論函數極值點的個數.

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，解方程可得的值；

（2）由題意可得，令，運用參數分離和構造，求得單調性，可得的范圍；

（3）求出函數的導數，令，由，即為，運用參數分離，令，可得，求得的單調區間，可得的范圍，即有的極值點的個數.

（1）函數的導數為：

圖象在處的切線斜率為

切線與直線垂直，可得

解得

（2）關于的不等式在上恒成立

即為在恒成立.

即有

令，可得

令，

即在遞減

當時，，可得

可得，即的取值范圍是

（3）由的導數為

令，由

即為

若時，方程不成立

若時，

令，可得

當即時，遞減；即時，遞增；

時，遞減.

則當時，

顯然，遞增；或時，遞減

即有為極值點；

當時，有一個解，有一個極值點；

當時，有三個解，有三個極值點

綜上可得，時，有一個極值點；

時，有一個極值點；

時，有三個極值點