Question

(本小題滿分16分)
已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，nÎN*．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n= log₂，T_n=+++…+，是否存在最大的正整數k，使得對于任意的正整數n，有T_n>恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a_n=(n+1)2ⁿ，nÎN*．（2）存在最大正整數k=5，使得T_n>恒成立．

本試題主要是考查了數列的前n項和與通項公式之間的互化問題，并能結合等差數列的定義得到通項公式，以及跟木同通項公式的特點，求解數列的和，采用了函數的單調性的思想，求解最值，從而得到常數k的值。
（1）根據已知的數列的前n項和與通項公式的關系，可以對于n=1,和n》2分為兩種情況來分析得到結論。
（2）根據第一問中的通項公式，表示b_n= log₂= n+1，和T_n，然后利用整體的單調性來求解參數k的值。
解: (1)當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2²⇒a₁=4；                   ·········· 1分
當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=(2a_n-2ⁿ⁺¹)－(2a _n－1-2ⁿ)⇒a_n- a _n－1=2ⁿ，·········· 2分
⇒－ =1，且 =2，                              ········ 3分
所以數列是以2為首項，1為公差的等差數列，
則 =2+(n－1)×1=" n" +1，所以a_n=(n+1)2ⁿ，nÎN*．        ········ 6分
(2)由(1)得S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹=(n+1)2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹=n2ⁿ⁺¹，              ·········· 8分
則=2ⁿ⁺¹，所以b_n= log₂= n+1，                         ········ 10分
所以T_n= +++…+ = + + +…+，
T_n+1= +++…+++ = +++…+++，
T_n+1－T_n= +－=，
又n是正整數，所以T_n+1－T_n=>0，即T_n+1>T_n，
所以數列{T_n}是遞增的數列，又T₁ ==，                  ········ 14分
所以T_n≥T₁=，要使T_n>恒成立，只需>，即k<6，
又k是正整數，故存在最大正整數k=5，使得T_n>恒成立．      16分