Question

【題目】設,對于，有.

（1）證明：

（2）令,

證明 ：（I）當時，

（II）當時，

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）（I）見解析;（II）見解析.

【解析】

（1）由分析法可證明，找到成立的充分性。（2）（I）當時，當時，有;再由分析法證明。（II）當時，當時，有 ，再由分析法結合數學歸納法證明。

（1）若，則只需證

只需證成立

只需要證成立，而該不等式在時恒成立…

故只需要驗證時成立即可，

而當時，均滿足該不等式。

綜上所得不等式成立。

（2）、（I）當時，

用數學歸納法很明顯可證當時，有;

下證：,

只需要證,

只需證

只需證,

只需證,

只需證.

由（1）可知，我們只需要證,

只需證,只需證.

當時該不等式恒成立

當時，

，故該不等式恒成立

綜上所得，上述不等式成立

（II）、當時，用數學歸納法很明顯可證當時，有

下證：

只需證: ,

只需證：

只需證：,

只需證：

只需證：,……

同理由（2）及數學歸納法，可得該不等式成立。

綜上所述，不等式成立