【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形
是邊長為2的正方形，
，
為
的中點，點
在
上，
平面
，
在
的延長線上，且
.
(1)證明:
平面
.
(2)過點
作
的平行線，與直線
相交于點
，點
為
的中點，求到平面
的距離.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）取
的中點為
，連接
，過
作
交
于
，連接
，通過證明四邊形
是平行四邊形，得
，證得線面平行；
（2）考慮三棱錐
的體積，利用等體積法求出
到平面
的距離為
，
到平面的距離是到平面的距離的一半，即可得解.
（1）證明:記的中點為，連接，過作交于，連接，
則
，且
.
因為
平面
，所以
.
在
中，
，
，易求
，
.
又
，則
.
因為
，所以
.
因為
，且
，所以四邊形是平行四邊形，
所以，又
平面
，
平面，
所以
平面.
（2）因為平面，所以
，而
是正方形，所以
.
因為
與
顯然是相交直線，所以
平面
，
所以平面
平面.
記的中點為
，連接
，
，則
平面，且
.
因為點
為
的中點，所以
，
，
，
在
中，，，
，所以
.
，所以
，
而三棱錐的體積
.
記到平面的距離為，
則
，所以
.
因為到平面的距離是到平面的距離的一半，
所以到平面的距離為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知某區甲、乙、丙三所學校的教師志愿者人數分別為240，160，80.為助力疫情防控，現采用分層抽樣的方法，從這三所學校的教師志愿者中抽取6名教師，參與“抗擊疫情·你我同行”下卡口執勤值守專項行動.
（Ⅰ）求應從甲、乙、丙三所學校的教師志愿者中分別抽取的人數；
（Ⅱ）設抽出的6名教師志愿者分別記為
，
，
，
，
，
，現從中隨機抽取2名教師志愿者承擔測試體溫工作.
（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；
（ii）設
為事件“抽取的2名教師志愿者來自同一所學校”，求事件
發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋擲一個質地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“不小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發生的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，直線
與
軸相交于點
，與曲線
相交于點
，且
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線的焦點的直線
交拋物線于
兩點，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點
，求證點的縱坐標為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一機器可以按各種不同的速度運轉，其生產物件有一些會有缺點，每小時生產有缺點物件的多少隨機器運轉速度而變化，用x表示轉速(單位：轉/秒)，用y表示每小時生產的有缺點物件個數，現觀測得到
的4組觀測值為
．
(1)假定y與x之間有線性相關關系，求y對x的回歸直線方程．
(2)若實際生產中所容許的每小時最大有缺點物件數為10，則機器的速度不得超過多少轉/秒？(精確到1轉/秒)
回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
.
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