Question

【題目】設函數

（1）若不等式對恒成立，求的值；

（2）若在內有兩個極值點，求負數的取值范圍；

（3）已知，若對任意實數，總存在實數，使得成立，求正實數的取值集合．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解（1）若 ，則當時，，不合題意；

若 ，則當時，，不合題意；

若 ，則當時，，當時，，當時，，滿足題意，因此的值為 ……………4分

（2）,

令，則

所以在上單調遞減，在上單調遞增，因此………6分

(i)當時， 在內至多有一個極值點；

(ii) 當時，由于 所以 ，而，因此在上無零點，在上有且僅有一個零點，從而在上有且僅有一個零點，在內有且僅有一個極值點；………………………8分

(iii)當時，因此在上有且僅有一個零點，在上有且僅有一個零點，從而在上有且僅有兩個零點，在內有且僅有兩個極值點；

綜上負數的取值范圍為………………………10分

（3）因為對任意實數，總存在實數，使得成立，所以函數的值域為．

在上是增函數，其值域為 ………………11分

對于函數，當時，，

當時，，函數在上為單調減函數，

當時，，函數在上為單調增函數．

若，則函數在上是增函數，在上是減函數，其值域為，

又，不符合題意，舍去；………………13分

若，則函數在上是增函數，值域為，

由題意得，即 ①

記則

當時，，在上為單調減函數．

當時，，在上為單調增函數，

所以，當時，有最小值，

從而恒成立(當且僅當時，) ②………………15分

由①②得，，所以

綜上所述，正實數的取值集合為．………………16分

【命題意圖】本題考查利用導數及零點存在定理研究極值點，利用單調性研究不等式恒成立等基礎知識，意在考查學生轉化與化歸能力、綜合分析問題解決問題的能力以及運算求解能力．