Question

【題目】函數， （）．

（Ⅰ）若，設，試證明存在唯一零點，并求的最大值；

（Ⅱ）若關于的不等式的解集中有且只有兩個整數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，得函數單調遞減，則零點至多一個；再根據零點存在定理說明至少一個零點，兩者結合得結論，最后根據函數單調性求最值（2）先變量分離得，再利用導數研究函數單調性，結合圖像可得有且只有兩個整數的條件，即為實數的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）證明：由題知，

于是，

令，則（），

∴在上單調遞減．

又， ，

所以存在，使得，

綜上存在唯一零點．

當， ，于是， 在單調遞增；

當， ，于是， 在單調遞減．

故，

又， ， ，

故．

（Ⅱ）

令，則，

令，則在上單調遞增．

又， ，

∴存在，使得．

∴當， ，即， 在單調遞減；

當， ，即 ， 在單調遞增.

∵， ， ，

且當時， ，

又， ， ，

故要使不等式式解集中有且只有兩個整數， 的取值范圍應為： ．