Question

【題目】已知在直三棱柱中，，，，，，點在線段上.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

試題分析：（1）根據邊角關系得到，進而得到，，，∴，又因為是直三棱柱，故，進而得到線線垂直；（2）建立坐標系，求平面的法向量，平面的法向量，根據向量夾角的求法得到余弦值.

解析：

（Ⅰ）不妨設，則，，，.

在和中，，，

∴，∴，

∴ ，∴，即；

∵，，∴，

∵為直三棱柱，∴平面，∴；

∴平面，∵點在線段上，∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設，則，，，，，，∴，，，.

設平面的法向量，則，

即，取，則，，

則平面的一個法向量；

設平面的法向量，則，即，

取，則，，則平面的一個法向量；

∴ ，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.