Question

【題目】某地高中年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知這些學生的原始成績均分布在內，發布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表，并規定： 三級為合格， 級為不合格

為了了解該地高中年級學生身體素質情況，從中抽取了名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分數在分及以上的所有數據的莖葉圖如圖所示.

(Ⅰ) 求及頻率分布直方圖中的值；

(Ⅱ) 根據統計思想方法，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，若在該地高中學生中任選人，求至少有人成績是合格等級的概率；

(Ⅲ)上述容量為的樣本中，從兩個等級的學生中隨機抽取了名學生進行調研，記為所抽取的名學生中成績為等級的人數，求隨機變量的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖和樹形圖求解；（Ⅱ）至少有一人可從反面出發，用間接法求解；（Ⅲ）根據分布列的定義和數學期望的計算方法求解即可.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，樣本容量

（Ⅱ）樣本中成績是合格等級的人數為，成績是合格等級的頻率為，故從該校學生中任選人，成績是合格等級的概率為，用表示事件“從該地高中學生中任選人，至少有人成績是合格等級，則”

（Ⅲ）樣本中等級的學生人數為人， 等級的學生人數為人，故隨機變量的所有取值

于是隨機變量的分布列為

所以，