Question

【題目】拋物線：的焦點為，拋物線過點.

（Ⅰ）求拋物線的標準方程與其準線的方程；

（Ⅱ）過點作直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，證明兩條切線的交點在拋物線的準線上.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的標準方程為，準線的方程為；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）將代入，得出，即可得出拋物線的標準方程和準線方程.

（Ⅱ）設，，聯立直線方程與橢圓方程，得出，利用韋達定理可得出，，對拋物線方程求導，進而求出過，的拋物線的切線方程，再聯立兩方程求出兩條切線的交點，得出兩條切線的交點在拋物線的準線上.

（Ⅰ）由，得，所以拋物線的標準方程為，準線的方程為.

（Ⅱ）根據題意直線的斜率一定存在，又焦點，設過點的直線方程為，聯立

，得，.

設，，則，.

∴.

由得，，過，的拋物線的切線方程分別為

，

即，兩式相加，得

，化簡，得，即，

所以，兩條切線交于點，該點顯然在拋物線的準線：上.